Un corpo può orbitare intorno ad un altro corpo che sta a sua volta orbitando intorno ad un altro corpo?
Ci proviamo con questo progetto di Scratch che non è una animazione ma una simulazione che calcola le posizioni usando esclusivamente l'espressione della legge della gravitazione universale di Newton.
Con il progetto di Scratch "orbite in orbita" si fanno prove con masse confrontabili o masse molto diverse per vedere se si può sperimentare un'orbita stabile e soprattutto apprezzare la massima distanza a cui questo possa accadere prima che l'altro oggetto faccia prevalere la propria influenza gravitazionale.
Il progetto di scratch "orbite in orbita" utilizza il progetto base dei tre corpi per simulare una situazione nella quale due corpi A e C in orbita reciproca sono interessati da un terzo corpo B che si vuole fare orbitare intorno ad uno di essi.
Ovviamente ci si chiede se questo possa accadere nella realtà.
La risposta è affermativa, la Luna orbita intorno alla Terra che orbita intorno al Sole e addirittura accade che dei satelliti artificiali orbitino intorno alla Luna a loro volta.
Non va sempre così bene perché qualunque oggetto orbitante intorno alla Terra, se va troppo lontano può trovarsi in una posizione in cui prevale l'attrazione del Sole o della Luna o di un altro pianeta nel qual caso questo oggetto verrebbe portato via dall'influenza terrestre per destini imprevedibili.
La stessa situazione si presenta con pianeti in un sistema binario di stelle per i quali ci si chiede se un pianeta possa orbitare intorno ad una di esse?
Si tratta di cercare il raggio della sfera di Hill che con mezzi analitici è calcolabile solo con una certa approssimazione e per giunta per masse orbitanti molto diverse, vedi 
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Qui si prova con metodi numerici che sono piuttosto approssimativi per la semplicità del codice e del programma che lo esegue e sopratutto per i tempi brevi che ci si concede che portano ad errori di approssimazione grossolani ma, piuttosto di niente …
Il progetto di Scratch
Il progetto mette a dispozione dei comandi da tastiera; alcune indicazioni sull'uso sono reperibili con il pulsante [I] sullo stage.
In breve: con un tasto numerico si attiva uno degli esperimenti predisposti, con il tasto [Q] si avvia il moto; per vedere i tre oggettti muoversi è necessario usare la modalità turbo.
L'uso evoluto dei comandi da tastiera è simile a quelli del progetto "pianeti intorno ad un sistema binario" come viene illustrato in questo 
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Come sperimentato nel suddetto progetto, i corpi A e C orbitano intorno al loro centro di massa ed un terzo corpo B viene fatto orbitare intorno ad uno di essi.
Nota importante. Per una buona ripetibilità degli esperimenti occorre iniziare sempre dalla bandierina verde e non m odificare la velocità di esecuzione.
Si inizia con masse confrontabili e distanze modeste
esperimento 1) orbita A-C circolare, B intorno a C
Si prova a fare orbitare B intorno a C e distanza iniziale 10 passi.
Con tasto [1] si avvia un'orbita fra due corpi A e C di massa paragonabile che orbitano lungo una circonferenza di raggio 150 passi.
Apparentemdente si vedono due orbite solo perché si è solidali con il centro di massa (la crocetta nera); se con il tasto [F] si fissa la posizione del corpo A si vede che esiste solo un'orbita mentre si vede il centro di massa spostarsi sincronamente con C visto da A.
Dato che le due masse sono dello stesso ordine di grandezza, il centro di massa è in una posizione visibilmente intermedia (rappressntata dalla crocetta color magenta).
Si vuole fare orbitare il corpo B di massa molto piccola intorno al corpo. Per fare questo si sceglie la distanza iniziale di B da C per un'orbita circolare, con tasto [Q] sia avvia il moto e si guada cosa accade.
Con distanza iniziale 10 passi l'orbita sembra stabile (nota 1).
Con orbite via via più ampie la situazione peggiora in deversi modi fino a diventare instabile con salti orbitali o con impatti.
esperimento 2) orbita A-C eccentrica, B intorno a C
Si imposta l'orbita di A-C su un ellisse molto eccentrico e si rifanno gli esperimenti 1) a distanze diverse.
L'orbita ellittica produce interazioni che sono periodicamente a distanza ravvicinata.
Il corpo B viene posto in orbita intorno a C alla distanza di 7 passi.
L'evoluzione sembra stabile anche con tempi lunghi ma occorre non fidarsi, un'orbita che sembra stabile può non esserlo nel lungo periodo.
Con distanze iniziali maggiori, peggiorando la stabilità delle orbite,ee si osservano salti orbitali ed impatti.
Con B distante inizialmente 10 passi si ha uno scambio a 200 tic ed un impatto su A a 253 tic; come nel caso precedente la situazione è instabile.
Per vedere la situazione del corpo B basta premere il tasto [B].
esperimento 3) B intorno ad A
Si imposta l'orbita A-C circolare con distanza di 150 passi e si prova ad inserire il corpo B in orbita circolare intorno al corpo A a distanze via via maggiori.
Con B posto alla distanza di 50 passi l'orbita di B sembra stabile.
Alla distanza di 63 passi, scelta per avere un periodo pari ad un tezo del periodo dei du corpi presi da soli, risulta che in presenza di C il periodo è inferiore a quanto impostato senza tenere conto della presenza di C e l'orbita è stabile.
Con B a 70 passi da C la situazione è gravemente instabile in quanto B biene catturato da C e infineu B impatta su C a 88 tic.
I casi 1), 2),3) sono confrontabili ed interscambiabili.
esperimento 4) si aumenta la distanza A-C
Il corpo C viene allontanato di altri 200 passi per cui la distanza ora e 350 passi ed il punto di vista viene posto solidale con A.
Viene scelta la distanza di B da A e poi viene impressa la velocità per un orbita circolare intorno ad A.
Si cerca la massima distanza da permetta a B malgrado la presenza di C.
Con B a 100 passi da A l'orbita è abbastanza stabile, da 150 passi ci sono deformazioni orbitali sempre più evidenti.
Co B distante 170 passi è più l'instabilità diventa catastrofica, impatto a 168 tic.
esperimento 5) masse non confrontabili
La massa di C è 1000 volte inferiore a quella di A e quella di B è praticamente trascurabile.
Il corpo B viene messo in orbita intorno ad A.
L'orbita A-C è la stessa del punto 4 ma l'esiguità della massa si C rende possibile orbite molto lontane da A con stabilità che si riscontrano fino a 250 passi di distanza iniziale.
Con inizio a 300 passi da A e solo 50 passi da C le orbite cominciano a essere leggermente variabili.
Con inizio a 325 passi B impatta su C.
Sembra di avere trovato un valore approssimato della sfera di Hill per il corpo A ma in genere si cerca la sfera di Hill per il corpo più piccolo.
Il problema riguarda la massima distanza a cui deve orbitare un satellite terrestre senza che il Sole prenda il sopravvento allontanandolo dalla Terra per cui occorre mettere B in orbita intorno a C che il corpo minore
esperimento 6)
Per confrontare il risultato con quanto dice la teoria è necessario avere una situazione che vi corrisponda:
- distanze grandi,
- masse molto diverse,
- raggio di Hill calcolato per orbitare intorno al corpo minore.
Si imposta l'orbita di B intorno a C e ci si chiede quale sia la massima distanza da C per un'orbita stabile.
Con distanza pari a 10 passi l'orbita è stabile poi B tende ad allontanarsi per entrare in orbita intorno ad A.
Il risultato è compatibile con il calcolo della sfera di Hill effettuata con l'uso di espressioni analitiche.
esperimento 7) massa minore al centro
Per osservare bene l'orbita di B si scambiano le masse tra C ed A così da sfruttare la capacità del progetto di mettere al centro A ed usarlo come sitema di riferimento o punto di vista ed eventualmdente lasciare fuori campo il corpo C.
Il corpo C è posizionato a 300 passi dal centro dello stage cosi che la distanza tra A e C vale ancora 350 passi, in questo modo l'orbita di B su A anche se piccola può essere osservata usando ingrandimenti opportuni.
Con B posto in orbita ai 10 passi da A, l'orbita di B intorno ad A risulta stabile per lungo tempo, a distanza maggiori la stabilità è compromessa.
La stabilità
Tutti questi esperimento sono fatti con solo tre corpi e già si vedono instabilità di diverso tipo in quanto basta aspettare un tempo sufficiente (nota 2).
Se poi ci sono molti corpi le cose si complicano e la stabilità delle orbite diventa molto improbabile specie se si osservano eventi per tempi lunghissimii.
La stabilità del sistema solare è apparente, osserviamo i pianeti da pochi millenni e comunque è l'esito di una selezione naturale avvenuta in tempi remoti nei quali tutti i pianeti e asteroidi hanno già concluso la loro esistenza o sono stati spazzati via.
Lo sviluppo della vita evoluta sulla Terra è stata resa possibile da una stabilità orbitale durata miliardi di anni e questo fa capire che il Sistema Solare deve essersi stabilizzato relativamente poco tempo dopo la sua nascita.
Articoli di riferimento
https://it.wikipedia.org/wiki/Sfera_di_Hill
http://www.infinitoteatrodelcosmo.it/2015/04/11/la-sfera-di-hill/
https://stagefisica.sns.it/media/lezioni/public/meccanica_celeste.pdf
È disponibile una scheda tecnica di supporto agli esperimenti.
Note
nota 1: Il termine "sembra" è d'obbligo, nessuno può dire se sarà sempre così quando ci sono moti di più di due corpi non avendo a disposizione le soluzioni analitiche.
nota 2: mai dimenticare la ragione principale dell'instabilità che emerge in questo progetto che è dovuta al codice dato che archi di ellisse vengono approssimati con le rispettive corde.