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Circuito ohmico capacitivo sollecitato con gradino di tensionegradRC It

E' il caso di un circuito con resistenza e capacità alimentato da un generatore che produce una tensione continua a tratti cioè che scatta, in teoria istantaneamente, da un valore di tensione ad un altro diverso e poi, per lungo tempo, mantiene la tensione costante al nuovo valore. L'impedenza del circuito non cambia perchè il cambio di tensione è insito al funzionamento del generatore e non è dovuto alla manovra di un interruttore o alla modifica di qualche altro parametro del circuito. 

Va premesso quanto illustrato nell'articolo circuiti ohmico capacitivi, generaltà

 

 

Negli esempi seguenti si utilizza una risoluzione numerica realizzata con foglio di calcolo e si fanno considerazioni sul comportamento di tali tipi di circuiti.

La simulazione è realizzata nel formato Apache OpenOffice ods (OpenOffice è scaricabile gratuitamente qui), l'applicazione di google non mostra i grafici

E' anche disponibile una scheda realizzata per aiutare a capire come è stato costruito il foglio elettronico.

RC

Con l'uso di Scratch si può vedere la simulazione che si evolve nel tempo con grafici della tensione, della corrente e delle potenze. Vai ad utilizzare questo file e provare ad impostare i valori  di tensione iniziale e finale o valori diversi di C e R per vedere come si evolve il fenomeno con possibilità di osservare anche le potenze e l'energia della capacità

Vengono proposti di default i due casi di gradino positivo e di gradino negativo con parametri:

R= 0,8Ω, C= 50F, V= 120V da cui tau = R*C = 40s (nota 1).

Caso1: gradino positivo di tensione con generatore di tensione costante

E' il caso di un generatore che produce il gradino positivo di tensione, o di un circuito con interruttore che chiude: la tensione della capacità passa dal valore nullo, perchè la si suppone inizialmente scarica, al valore di regime pari a 120V. 

 

La tensione VC cresce con andamento esponenziale e si considera tecnicamente a regime dopo un tempo pari a 5 volte la costante di tempo τ (tau) (nota 2) cioè dopo 200s.

Considerazioni

gradRC It

La tensione generata (celeste) ha un gradino il che significa che fa un salto repentino dal valore zero al valore 120V all'istante 50s.

La tensione della capacità non ha un gradino, non fa lo stesso salto repentino ma passa gradualmente dal valore zero al valore di regime pari a 120V.

Infatti: la capacitò non ammette discontinuità di tensione!

La corrente circolante ha un valore elevato all'inizio per poi decrescere esponenzialmente. Il valore inizale elevato è dovuto al fatto che la capacità è inizialmente scarica, la tensione VC è nulla e solo la resistenza regola il valore di corrente. Con l'avanzare del tempo la capacità si carica, la VC cresce fino a preggiare la tensione del generaore, a quel punto la corente è nulla e la capacità si dice "carica".

L'energia immagazzinata dalla capacità si calcola con 

WC = 1/2*C*V2

Fino all'istante 50s WC = 0J

Al termine del transitorio WC = 1/2*C*V2 = 0,5*50*1202 = 360.000J.

gradRC Pt

Per fornire quell'energia ci vuole tempo; un generatore, per caricare una capacità con quella quantità di energia in un tempo infinitamente piccolo deve avere una potenza infinitamente grande: ecco perchè la capacità non ammette discontinuità di tensione ... perchè nessun generatore ha la potenza sufficiente per imporre la variazione in un tempo nullo.

Da dove viene quell'energia?

Dal generatore che quindi non alimenta solo la resistenza che dissipa l'energia in calore ma alimenta anche la capacità che immagazzina energia .... immagazzina vuol dire che non la dissipa ma la conserva finchè c'è tensione, se la tensione si annulla allora non c'è più energia.

A destra il grafico delle potenze in gioco in ogni istante.

L'applicazione del principio di conservazione dell'energia porta a considerare che la potenza erogata dal generatore (in verde) è la somma della potenza assorbita dalla resistenza (in rosso) più la potenza necessaria per caricare la capacità (in viola) (nota 3).

La capacità accumula rapidamente energia nella prima fase ed infatti si vede che la potenza capacitiva di cui ha necessità dapprima cresce raggiungendo un massimo dopodichè decresce.

Al termine del transitorio la capacità non ha variazioni di tensione per cui non carica ulteriore energia e quindi la potenza assorbita diventa nulla: da quel momento non circola corrente e la potenza generata è nulla.

Ricordare: a regime, cioè quando il transitorio si è esaurito, la capacità non assorbe più energia ma conserva quella accumulata durante il transitorio di carica.gradRC WC

 

L'energia WC accumulata dalla capacità ha l'andamento del grafico a destra (nota 4).

 

 

 

Caso2: gradino negativo di tensione con generatore di tensione continuagrad RC I

E' il caso di un generatore che produce il gradino negativo di tensione, non di un circuito con interruttore che si apre, la tensione passa dal valore iniziale al valore nullo. Nell'esempio si è considerato come valore iniziale della tensione il valore di regime dell'esempo precedente: 120V.

La tensione diminuisce con andamento esponenziale e si considera tecnicamente nulla dopo un tempo pari a 5 volte la costante di tempo τ (tau) (nota 2) cioè dopo 200s. 

Considerazioni

La tensione ha un gradino il che significa che fa un salto repentino dal valore 120V al valore 0V all'istante 50s.

La tensione della capacità non ha un gradino, non fa lo stesso salto ma passa gradualmente dal valore iniziale di 120V al valore zero.

La capacità non ammette discontinuità di tensione!

La corrente (in rosso) ha andamento negativo infatti la capacità restituisce le cariche elettriche accumulate.

La tensione sulla capacità è opposta alla tensione sulla resistenza.

 

 

L'energia immagazzinata dalla capacità all'inizio del transitorio era

RL gradino off P

WC = 1/ 2*C*V2

Fino all'istante 50s WC = 1/2*C*V2 = 0,5*50*1202 = 360.000J.

Al termine del transitorio WC = 0J

Per restituire quell'energia ci vuole tempo; una capacità, per scaricare quella quantità di energia in un tempo infinitamente piccolo deve essere inserita in un circuito con costante di tempo infinitamente piccola; dato che la costante di tempo è R*C questa condizione si verifica per R nulla, è quindi possibile salvo la necessità di verificare che una corrente infinitamente grande non danneggi il generatore (nota 5).

 

Dove va quell'energia?

A partire dall'inizio del gradino negativo il generatore viene interessato dalla corrente ma non produce tensione quindi PG=0.

Tutta l'energia iniziale della capacità si dissipa gradualmente per effetto Joule nella resistenza e diventa calore che va perso nell'ambiente.

grad RC P

A destra il grafico delle potenze in gioco dove si vede che in ogni istante la potenza della capacità (negativa perchè non è potenza assorbita ma erogata o restituita) è pari alla potenza assorbita dalla resistenza.

Infatti, l'applicazione del principio di conservazione dell'energia porta a considerare che la potenza assorbita dalla resistenza (in arancione) proviene dalla potenza di scarica della capacità (in viola).

Al termine del transitorio la capacità non ha variazioni di tensione per cui non scarica ulteriore energia e quindi la potenza restituita diventa nulla come nulla è la potenza assorbita dalla resistenza visto che il generatore non sta erogando potenza.

Un esperimento eseguito con l'uso di Arduino pilotato con un'applicazione derivata da Scratch è visibile qui. SI vede come la tensione misurata sulla capacità  in occasione del gradino, cresce con l'andamento esponenziale considerato in questa pagina.  

 

note

nota 1: nei circuiti RC tau si misura in secondi ed è pari al prodotto R*C dove C si misura in Farad, che sono siemens-secondi ovvero ohm-1-secondi, ed R si misura in ohm

nota 2: in realtà non finisce mai di crescere (o di decrescere) ma lo fa asintoticamente e la differenza tra il valore effettivo e quello a regime o asintotico diventa piccola quanto si vuole pur di lasciare trascorrere tempo a sufficienza

nota 3: la potenza necessaria per caricare la capacità è la derivata dell'energia rispetto al tempo dWC/dt oppure C*V*dv/dt (colonna I).

nota 4: Dal punto di vista matematico l'energia è l'integrale della potenza ovvelo è proporzionale all'area compresa fra la curva PC(t) e l'asse dei tempi (colonna L).

nota 5: una resistenza nulla ai morsetti di un generatore è un corto circuito 

 

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