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Circuito ohmico induttivo sollecitato con gradino di tensione

 circuito RL


E' il caso in cui un generatore produce una tensione continua a tratti cioè che scatta, in teoria istantaneamente, da un valore di tensione ad un altro diverso e poi, per lungo tempo, mantiene la tensione costante al nuovo valore. L'impedenza del circuito non cambia perchè il cambio di tensione è insito al funzionamento del generatore e non è dovuto alla manovra di un interruttore o alla modifica di qualche altro parametro del circuito.

 

Va premesso quanto illustrato nell'articolo circuiti ohmico induttivi, generaltà

 

 

Negli esempi seguenti si utilizza una risoluzione numerica realizzata con foglio di calcolo e si fanno considerazioni sul comportamento di tali tipi di circuiti.

La simulazione è realizzata nei formati da scaricare:

Apache OpenOffice ods (originario, scaricabile gratuitamente qui), l'applicazione di google non mostra i grafici

MS excel xls, xlsx (quando c'è, da scaricare ed aprire con excel, google drive non rende bene la grafica)

E' anche disponibile una scheda realizzata per aiutare a capire come è stato costruito il foglio di calcolo.

 

Con l'uso di Scratch si può vedere la simulazione che si evolve nel tempo con grafici della tensione, della corrente e delle potenze. Scaricare questo file e con il comando "n" impostare i parametri come segue:

turn on: T = 800, dutycycle = 99%, tau = 60, VM = 120, IM = 80. I0 = 0.

turn off: cambiare dutycycle = 1% e I0 = 80 

Per osservare i grafici premere "t" e/o"p".

 

Vengono esaminati i due casi di gradino positivo (passaggio da "off" ad "on" o, impropriamente,  "turn on") e gradino negativo (passaggio da "on" a "off" o, impropriamente, "turn off" (nota 1)).

Nell'esemplificazione il generatore ideale produce un tensione di 25V, la resitenza vale 1,25Ω, l'induttanza vale 12,5H. La costante di tempo τ (tau) è pari a 10s (nota 2) ed il transitorio inizia all'istante 10s.

 

Caso1: gradino positivo di tensione (turn on) con generatore di tensione costante

E' il caso di un generatore che produce il gradino positivo di tensione, o di un circuito con interruttore che chiude: la corrente passa dal valore nullo, perchè il crcuito si suppone con corrente iniziale nulla, al valore di regime in corrente continua pari a 20A. RL gradino on VI

La corrente cresce con andamento esponenziale e si considera tecnicamente a regime dopo un tempo pari a 5 volte la costante di tempo τ (tau) (nota 3) cioè dopo 50s. 

Considerazioni

La tensione ha un gradino il che significa che fa un salto repentino dal valore zero al valore 25V all'istante 10s.

La corrente non ha un gradino, non fa lo stesso salto ma passa gradualmente dal valore zero al valore di regime pari a 20A.

Infatti: l'induttanza non ammette discontinuità di corrente!

L'energia immagazzinata dall'induttanza si calcola con 

WL = 1/2*L*I2

Fino all'istante 10s WL = 0J

Al termine del transitorio WL = 1/2*L*I2 = 0,5*12,5*202 = 2500J.

Per fornire quell'energia ci vuole tempo; un generatore, per caricare un'induttanza di quella quantità di energia in un tempo infinitamente piccolo deve avere una potenza infinitamente grande: ecco perchè l'induttanza non ammette discontinuità di corrente ... perchè nessun generatore ha la potenza sufficiente per imporre la variazione in un tempo nullo.

Da dove viene quell'energia?RL gradino on P

Dal generatore che quindi non alimenta solo la resistenza che dissipa l'energia in calore ma alimenta anche l'induttanza che immagazzina energia .... immagazzina vuol dire che non la dissipa ma la conserva finchè c'è corrente.

A destra il grafico delle potenze in gioco in ogni istante.

L'applicazione del principio di conservazione dell'energia porta a considerare che la potenza erogata dal generatore (in verde) è la somma della potenza assorbita dalla resistenza (in rosso) più la potenza necessaria per caricare l'induttanza (in viola) (nota 5).

L'induttanza accumula rapidamente energia nella prima fase ed infatti si vede che la potenza induttiva di cui ha necessità si dapprima cresce raggiungendo un massimo dopodichè decresce.

Al termine del transitorio l'induttanza non ha variazioni di corrente per cui non carica ulteriore energia e quindi la potenza assorbita diventa nulla: da quel momento tutta la potenza generata va sulla resistenza.

Ricordare: a regime, cioè quando il transitorio si è esaurito, l'induttanza non assorbe più energia ma conserva quella accumulata durante il transitorio di carica.

 

Caso2: gradino negativo di tensione (turn off) con generatore di tensione costanteRL gradino off VI

E' il caso di un generatore che produce il gradino negativo di tensione, non di un circuito con interruttore che si apre (nota 4), la corrente passa dal valore iniziale al valore nullo. Nell'esempio si è considerato come valore iniziale della corrente il valore di regime dell'esempo precedente: 20A.

La corrente diminuisce con andamento esponenziale e si considera tecnicamente nulla dopo un tempo pari a 5 volte la costante di tempo τ (tau) (nota 3) cioè dopo 50s. 

 

Considerazioni

La tensione ha un gradino il che significa che fa un salto repentino dal valore 25V al valore 0V.

La corrente non ha un gradino, non fa lo stesso salto ma passa gradualmente dal valore iniziale al valore zero.

L'induttanza non ammette discontinuità di corrente!

L'energia immagazzinata dall'induttanza all'inizio del transitorio era

WL = 1/2*L*I2

Fino all'istante 10s la WL = 1/2*L*I2 = 0,5*12,5*202 = 2500J

Al termine del transitorio WL = 0.

RL gradino off PPer restituire quell'energia ci vuole tempo; un'induttanza, per scaricare quella quantità di energia in un tempo infinitamente piccolo deve essere inserita in un circuito con costante di tempo infinitamente piccola; dato che la costante di tempo è L/R questa condizione si verifica per R infinitamente grandi (nota 6) ma non è il caso del circuto in esame che ha la resistenza fissata a 1,25Ω.

Dove va quell'energia?

A partire dall'inizio del gradino negativo il generatore viene interessato dalla corrente ma non produce tensione quindi PG=0.

Tutta l'energia iniziale dell'induttamza si dissipa gradualmente per effetto Joule nella resistenza e diventa calore che va perso nell'ambiente.

A destra il grafico delle potenze in gioco dove si vede che in ogni istante la potenza dell'induttanza (negativa perchè non è potenza assorbita ma erogata o restituita) è pari alla potenza assorbita dalla resistenza.

Infatti, l'applicazione del principio di conservazione dell'energia porta a considerare che la potenza assorbita dalla resistenza (in rosso) proviene dalla potenza di scarica dell'induttanza (in viola).

Al termine del transitorio l'induttanza non ha variazioni di corrente per cui non scarica ulteriore energia e quindi la potenza restituita diventa nulla come nulla è la potenza assorbita dalla resistenza visto che il generatore non sta erogando potenza.

 

Il caso dell'apertura con interruttore di un circuto ohmico induttivo è trattato in questo articolo.

 

note

nota 1: tipicamente si esaminano i casi di passaggio repentino da zero ad un valore positivvo di tensione che viene chiamato "turn on" perchè si pensa sia dovuto alla chiusura di un interruttore ... e fin qui si può sopportare ma, quando si passa dalla tensione di regime positiva a zero si ha un gradino negativo che non è dovuto all'apertura dello stesso induttore perchè, in quel caso, si deve tenere conto della variazione di impedenza del circuito. Non è questo caso dove, invece l'impedenza è costante perchè non c'è alcun interruttore che modifica il circuito ma solo un generatore, sempre lo stesso, che modifica la fem generata.

nota 2: nei circuiti RL tau si misura in secondi ed è pari al rapporto L/R dove L si misura in Henry, che sono ohm-secondi, ed R si misura in ohm

nota 3: in realtà non finisce mai di crescere o di decrescere ma lo fa asintoticamente e la differenza tra il valore effettivo e quello a regime o asintotico diventa piccola quanto si vuole pur di lasciare scorrere tempo a sufficienza

nota 4: se si vuole usare un interruttore allora occorre che si chiuda un circuto che consente la circolazione della corrente di estinzione o extracorrente di apertura e questo lo si fa con un deviatore o con un diodo ... ma questo è un altro argomento.

nota 5: la potenza necessaria per caricare l'induttanza è la derivata dell'energia rispetto al tempo dWL/dt oppure L*I*di/dt.

nota 6: la scarica di una corrente su una resitenza infinitanmente grande comporta una tensione sulla resistenza anch'essa infinitamente grande e tecnicamente questo non può avvenire a causa del cedimento degli isolamenti: una tensione infinitamente grande non si può raggiungere perchè da qualche parte del circuito si ha una scarica disruptiva negli isolamenti.

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