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Circuiti ohmico induttivi in regime di tensione monofase alternata circuito RL

ca vip

Qui si esamina cosa accade quando un circuito ohmico-induttivo è interessato da un'onda di tensione Vg(t)  alternata sinusoidale come quella disponibile in rete.

Le soluzioni normalmente disponibili sono di tipo analitico e qui non ne viene aggiunta un'altra versione, basta cercare in rete.

In questo articolo viene usato il metodo numerico.

 

Un vantaggio sicuro del metodo numerico consiste nel poter osservare con facilità anche fenomeni transitori (nota 1). La soluzione numerica prescinde da ogni ragionamento su reattanze, sfasamenti, impedenze, cosfi, anticipi e ritardi ... avviene! Anzi: diviene.

Va premesso quanto illustrato nell'articolo circuiti ohmico induttivi, generalità dove si presentano le basi matematiche del metodo utilizzato per calcolare l'andamento delle grandezze in gioco basandosi sull'integrazione numerica dell'equazione differenziale anzichè il metodo analitico.

Data l'equazione differenziale si applica al circuito e si va a vedere cosa accade col trascorrere del tempo.

 

Negli esempi seguenti si utilizza una soluzione numerica realizzata con foglio di calcolo e sulla base dei risultati si fanno considerazioni sul comportamento di tali tipi di circuiti.

Sono scaricabili i files seguenti:

- il foglio di calcolo tensione alternata su RL (originario) nel formato Apache OpenOffice (nota 2). 

- Il foglio di calcolo "tensione alternata" su RL convertito in excel (questa versione non viene aggiornata di frequente)

- una scheda che aiuta a capire come è stato realizzato il foglio di calcolo.

- un file di Scratch2 con cui si possono vedere come si evolvono nel tempo la tensione, la corrente e le potenze in diverse condizioni a scelta dell'utente. 

 

I casi esaminabili possono comprendere la situazone di un avvio (chiusura del circuito) a pieno carico ma con fasi diverse della tensione o con correnti iniziali non nulle (nota 3).

 

Utilizzo del foglio di calcolo

Le figure seguenti e le esemplificazoni che seguono si riferiscono ai parametri scritti nell'area verde (situazione che si presenta sul foglio appena scaricato) ... questi parametri sono modificabili dall'utente.

ca 2paramUt

 

T, periodo della tensione sinusoidale = 20s (nota 4)

I0, corrente iniziale =-48,6 così la corrente è a regime fin dall'inizio (valori diversi servono per studiare i transitori)

VM, valore massimo della tensione = 40V

fase della tensione = 0rad (utile per considerare istanti diversi di chiusura del circuito)

R = 0,4Ω; L= 1H

∆t, intervallo di tempo per l'integrazione = 0,01s (deve essere molto piccolo rispetto al periodo T)

I(0) per regime: valore iniziale della corrente a regime I0 = IM* sen(-φ)

tau: costante di tempo = L/R = 2,5s

pulsazione ω = 2*π/T = 0,314rad/s

 

 

Viene anche effettuato il calcolo dei parametri dedotti con metodi analitici da utilizzare per effettuare le verifiche:ca parAnalitici

reattanza induttiva XL = ω*L = 0,31Ω

impedenza Z = radq (R2 + XL2) = 0,51Ω

valore massimo della corrente IM = VM/Z =78,6 A

fase φ = atan(XL/R) = 0,666rad

Vrms : valori efficace = VM /radq(2) = 28,3V

Irms valore efficace  = IM /radq(2) = 55,6A

la potenza P = V*I*cosφ = 1237W

err su P utilizzato per valutare l'errore comesso utlizzando il metodo numerico rispetto al metodo analitico = 1,81%.

 

Si osservano numericamente e graficamente le grandezze variabili nel tempo (in rosso quando sono negativi):ca tabella

in testa, in campo azzurro, i valori medi da mettere a confronto con i valori calcolati analiticamente (sfondo viola sul foglio di calcolo open office)

vg(t): tensione

i(t): corrente calcolata integrando l'equazione differenziale

Pg(t): potenza erogata vg*i

Pj(t): potenza assorbita dalla resistenza R*i2, ridotta di 10 volte (nota 5)

WL(t): energia immagazzinata dall'induttanza 1/2*L*i2, ridotta di 100 volte

PL(t): potenza assorbita dall'induttanza ∆WL/∆t, ridotta di 10 volte

BilP(t): bilancio delle potenze che deve tendere a zero

Altri dettagli si trovano sulla scheda scaricabile.

 

Si osserva quanto segue:

ca vip

 

  

Considerazioni 

La tensione è periodica sinusoidale come imposto

La corrente è periodica sinusoidale ed in ritardo rispetto alla tensione

La potenza generata è periodica sinusoidale di frequenza doppia e raggiunge  valori negativi 

la potenza assorbita dalla resistenza segue l'ondulazione della corrente, quando la potenza in R è superiore alla potenza generata, è l'induttanza che provvede a fornire potenza scaricandosi di energa elettromagnetica

la potenza assorbita dall'induttanza è alternata, sinusoidale: positiva, cioè assorbita, finchè il generatore riesce ad alimentare la resistenza e negativa quando l'induttanza deve sopperire alla diminuita potenza del generatore (nota 6). 

 

I risultati del grafico possono essere utilizzati per i calcoli di valori medi ed efficaci delle varie grandezze e confrontati con i risultati dedotti con il metodo analitico.

La manipolazione dei parametri permette di considerare diverse situazioni.

 

Utilizzo dell'animazione con Scratch

L'uso di Scratch assicura una visione più interessante dato che si tratta di una animazione che consente di osservare l'evoluzione nel tempo delle grandezze in gioco.

Potendo arrestare l'evoluzione o procedere con piccoli passi l'utilizzo didattico è più efficace.

 

note

nota 1: uno svantaggio è connesso con l'approssimazione numerica che può comportare errori non accettabili

nota 2: OpenOffice si scarica gratuitamente da qui, Il foglio di calcolo  svluppato con OpenOffice è aggoirnato di frequente. La scheda aperta con il software di google non riporta i grafici.

nota 3: mentre la chiusura del circuito è facilmente implementabile, l'apertura del circuito ha bisogno di ulteriori ipotesi e non viene affrontato in questo contesto (vedi apertura di un circuito ohmico induttivo)

nota 4: sono simulazioni, si vogliono illustrare andamenti di fenomeni, le grandezze sono tutte con unità di misura base

nota 5: la riduzione serve per poter vedere i grafici del foglio di calcolo in sovrapposizione 

nota 6: Poichè la potenza assorbita dall'induttore è alternata il valore medio è nullo: il generatore, in media, non eroga energia sull'induttanza, la scambia con essa.

 

 

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