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La potenza elettrica

Definizione

La potenza elettrica istantanea, assorbita o erogata da un un qualunque componente o appareccio elettrico o transitante lungo una linea si calcola conoscendo i valori istantanei della tensione e della corrente che  interessano il componente o la linea che si sta  studiando con l'espressione della potenza istantanea:

p(t)=v(t)*i(t)

p(t): potenza, variabile nel tempo, misurata in W (watt o joule al secondo)

v(t): tensione, variabile nel tempo, misurata in V (volt o joule al coulomb)

i(t): tensione, variabile nel tempo, misurata in A (ampere o coulomb al secondo)

 

Caso particolare di regime costante

Se si tratta di apparecchi alimentati a tensione continua, quindi costante, anche la corrente è costante per cui la potenza non varia nel tempo e si calcola

P=V*I

 

Regime variabile

In circuiti a regime variabile  la potenza elettrica sarà anch'essa variabile, sarà funzione del tempo e viene indicata così: p(t).

Se la potenza varia rapidamente (nota1) allora può interessare di più conoscere la potenza media in un dato intervallo di tempo t1-t2.

Così è quando si studiano i circuiti in corrente alternata o in PWM dove si considera piuttosto la potenza media che si può dedurre dai parametri descrittivi del circuiti.

La potenza media è quel valore costante che si deve utilizzare per produrre lo stesso effetto energetico della potenza variabile (di solito ci si riferisce all'effetto termico).

Per circuiti interessati da grandezze periodiche la potenza media è la stessa per ciascun periodo e pertanto è sufficiente calcolarla per un periodo soltanto.

 

Calcolo della potenza media

Regola generale per circuiti a regime variabile (nota2).

La potenza assorbita (P) è, per definizione, l'energia W (da work) assorbita in un intervallo di tempo pari ad un secondo, per intervalli diversi si calcola con 

P=W/t

Esempio: 50W significa che in un secondo sono stati assorbiti 50 joule.

Dalla stessa definizione allora si può anche calcolare l'energia assorbita moltiplicando la potenza per l'intervallo di tempo (se, e solo se, in quell'intervallo di tempo la potenza rimane costante) e vale: 

W=P*t

W: energia in J (joule)

P: potenza in W (watt)

t: tempo in s (secondi)

dato che energia e tempo sono valori che si accumulano (nota 3), è bene occuparsi di variazioni di energia o di aumento dell'energia in un intervallo di tempo per cui è meglio usare l'espressione che mette in evidenza le variazioni

W2-W1 = P* (t2-t1)

l'aumento di energia assorbita è pari alla potenza costante per l'intervallo di tempo considerato

l'espressione si scive anche

ΔW=P*Δt

In tal caso, con l'esempio di sopra, in 5 secondi si calcola che vengono assorbiti 250 joule ed in 200 secondi vengono assorbiti 10.000 joule ... sempre che la potenza sia costante.

potenza costante area

 

Caso a: potenza costante

Se si disegna un grafico della potenza costante nel tempo si vede che è rappresentato da una retta parallela all'asse dei tempi (orizzontale) e che il l'area compresa fra t1, t2, P e l'asse dei tempi è proprio l'espressione dell'energia:

l'area di un grafico P(t) è l'energia

 

 

 

 

 

Caso b: potenza variabile

potenza variabile

Quando la potenza è variabile si può adottare una procedura grafica che consiste nel calcolare l'area sottostante il grafico suddividendo l'area complessiva in segmenti di geometria semplice in modo da renderne facile il calcolo:

- si suddivide l'area in segmenti A1 ...A5 con tratti paralleli all'asse delle ordinate

- si calcola l'area in ciascun segmento (A1, A2, A3, A4, A5) usando le normali regole di geometria e

- si sommano i contributi di tutti gli intervalli così da avere una buona misura dell'area totale e quindi dell'energia in tutto il periodo:

energia assorbita = area totale = somma (A1÷A5) = Σ (Ai) (Σ, sigma, significa la somma di...)

 

Una regola, adottata di frequente, riconduce il segmento di area a quella di un trapezio dove la base maggiore e la base minore sono le ordinate agli estremi dell'intervallo e l'altezza è l'intervallo di tempo (i vari segmenti di area della figura sono quasi dei trapezi).

 Infatti:

segm area2

Nel grafico precedente la curva (blu) è la potenza istantanea, l'area tra la curva della potenza e l'asse dei tempi (tratteggiata in rosso) viene suddivisa in aree abbastanza piccole di forma trapezoidale.

trapezioR

ll segmento di area A4 della figura precedente è stato selezionato (disegno a sinistra) e ruotato di 90 gradi (disegno a destra) per illustrare che è composto da:

- un trapezio rettangolo, contornato di verde, con base maggiore B, base minore b, ed altezza h ed

- un piccolo residuo di area, sporcato di rosso, posto tra il lato obliquo e la curva blu, che non rientra nel calcolo dell'area e che, se trascurato, rappresenta un errore nel calcolo  

 

Il trapezio del segmento A4 è delimitato dai punti t1, t2, P1, P2

Detto questo, ciascuna area si calcola con la formula dell'area del trapezio, per il segmento A4 vale

A4=(B+b)/2*h = (P1+P2)/2*(t2-t1)

gli indici 1 e 2 stanno ad indicare il punto iniziale del segmento ed il punto finale del segmento stesso  

  

Il risultato è in tabella con i seguenti risultati:

calcolo pot var

 - l'energia rappresentata dall'area sotto la curva della potenza vale 0,316J

- la potenza media quindi risulta essere di 63,2W

 

Il risultato non è preciso perchè il metodo ammette un errore dato dalla differenza tra l'area del trapezio e l'area effettiva.

Se si eseguno calcoli con ulteriori suddivisioni, l'errore diminuisce ma aumenta l'onerosità del calcolo.

I fogli elettronici annullano l'onerosità dei calcoli se si ha a disposizione l'espressione analitica della curva o un numero sufficiente di punti descrittivi della forma d'onda.

Con un foglio,elettronico e intervalli di tempo pari a 50 microsecondi risulta una potenza media di 63,66J  ... non così diverso dal risultato approssimativo ottenuto prima! (nota 4)

 

 

Quando gli intervalli di tempo diventano infinitesimi, l'errore si annulla per cui la regola esatta per il calcolo della potenza media tra l'istante t1 e l'istante t2 è (nota 5)

integrale p

integrale pt

dt è l'intervallo di tempo che ora è infinitesimo

il prodotto p(t)*dt è il calcolo dell'energia assorbita in un intervallo di tempo infinitesimo

La somma di tutti gli intervalli infinitesimi si chiama integrale (nota 6).

 

Nel caso si disponga del grafico di p(t), il calcolo integrale sopra indicato si traduce nel calcolo dell'area compresa fra:

- la curva,

- l'asse dei tempi e

- gli istanti t1 e t2

Si calcola l'area totale considerando positive le aree sopra l'asse dei tempi e negative quelle sotto.

L'area così calcolata misura l'energia netta che si è trasferita dal generatore all'utilizzatore 

si divide quindi il risultato per l'intervallo di tempo considerato (t2-t1) e si ha la potenza media.

Dal punto di vista puramente grafico, la potenza media è l'altezza di un rettangolo che ha l'area equivalente all'area totale descritta dal grafico.

 

Studio di casi particolari

Regime a tensione continua intermittente

In corrente alternata sinusoidale (quella usata per distribuire l'energia elettrica) si deve tenere conto del comportamento di induttori e condensatori (vedi qui)

per la potenza in un circuito RL, vedi qui.

... altri in preparazione ...

 

note

nota1: cosa intendo per "rapidamente": un secondo, un minuto, un'ora? La rapidità della variazione della potenza va posta in relazione al tempo di risposta di apparecchiature, strumenti e macchinari o anche dei nostri sensi. Considero rapida una variazione più veloce dell'inerzia dei nostri sensi o dell'inerza degli strumenti: quando non si può osservare che si passa da un regime all'altro ma si rileva una situazione intermedia. La luce di una lampadina a incandescenza collegata alla rete di casa (frequenza 50Hz) è quasi costante perchè l'inerzia termica del filamento è tale da non consentire variazioni di temperatura al ritmo di 100 volte al secondo; la lampada fluorescente (cosiddetto neon) invece si spegne e si accende 100 volte la secondo ma questa volta è il senso della vista a non essere in grado di seguire variazioni così rapide.

nota 2: nella terminologia di questo articolo si fa riferimento ad un utilizzatore per l'uso degli aggettivi ma è la stessa cosa se si tratta di generatori o linee (vedi convenzione normale dei circuiti elettrici).

nota 3: non sappiamo definire una energia come valore assoluto come non sappiamo definire un tempo assoluto ... e perlomeno non ci conviene utilizzarli: si usa invece considerare la variazioni di energia di un sistema e l'intervallo di tempo rispetto ad un istante convenzionalmento considerato come iniziale; intervalli e variazioni sono indicate come differenza fra un valore finale (indice 2) ed un valore iniziale (indice 1); esempio t2-t1 che spesso è abbreviato con l'uso della lettera greca maiuscola delta "Δ" che sta per differenza

nota 4: la curva di potenza della figura  dell'esempio è un quarto di sinusoide per cui si può conoscere dalla teoria il valore medio esatto che è pari a 2/pi.greco*valore massimo=63,66W

nota 5: in questo caso la potenza si indica con lettera maiuscola perché é un valore costante

nota 6: il segno di integrale è una "S" molto allungata e significa somma di elementi infinitesimi